一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．若集合M={x|﹣2＜x＜3}，N={y|y=x2+1，x∈R}，则集合M∩N=（ ）
A．（﹣2，+∞） B．（﹣2，3） C．[1，3） D．R
2．若复数 （α∈R）是纯虚数，则复数2a+2i在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量 =（2，1）， =10，| + |= ，则| |=（ ）
A． B． C．5 D．25
4．已知cos（ ）= ，则sin（2 ）的值为（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
5．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 是较小的两份之和，问最小一份为（ ）
A． B． C． D．
6．等比数列{ }中， ＞0，则“ ＜ ”是“ ＜ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴相切于原点，且x轴与函数图象所围成区域（图中阴影部分）的面积为 ，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2
8．已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+1）= ，若f（x）在[﹣1，0]上是减函数，记a=f（log0.52），b=f（log24），c=f（20.5），则（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c
9．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移 个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[0， ]和[2a， ]上均单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．[ ， ] B．[ ， ] C．[ ， ] D．[ ， ]
10．已知数列{an}满足：2an=an﹣1+an+1（n≥2），a1=1，且a2+a4=10，若Sn为数列{an}的前n项和，则 的最小值为（ ）
A．4 B．3 C． D．
11．已知函数f（x）= （其中e为自对数的底数），则y=f（x）的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
12．定义在R上的函数f（x）满足：f'（x）＞1﹣f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式exf（x）＞ex+5（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，0）∪（1，+∞） D．（3，+∞）
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c， ，则tanB= ．
14．已知x，y满足 ，且z=2x﹣y的最大值与最小值的比值为﹣2，则a的值是 ．
15．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是 海里．
16．{an}满足an+1=an+an﹣1（n∈N*，n≥2），Sn是{an}前n项和，a5=1，则S6= ．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．（12分）如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠CAD= ，AC= ，cos∠ADB=﹣
（1）求sin∠C的值；
（2）若△ABD的面积为7，求AB的长．
18．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1= +1（n≥2）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn= ，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜ ．
19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c， ，∠BAC=θ，a=4．
（1）求bc的最大值；
（2）求函数 的值域．
20．（12分）已知数列{an}是公差为正数的等差数列，其前n项和为Sn，且a2•a3=15，S4=16．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）数列{bn}满足b1=a1， ．
①求数列{bn}的通项公式；
②是否存在正整数m，n（m≠n），使得b2，bm，bn成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
21．（12分）已知a为常数，a∈R，函数f（x）=x2+ax﹣lnx，g（x）=ex．（其中e是自然对数的底数）
（Ⅰ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点为P（x0，y0），求证：x0=1；
（Ⅱ）令 ，若函数F（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的取值范围．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分）在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣3．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）求圆C的参数方程；
（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+2y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．
选修4-5：不等式选讲
23．已知m，n都是实数，m≠0，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．
（Ⅰ）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若|m+n|+|m﹣n|≥|m|f（x）对满足条件的所有m，n都成立，求实数x的取值范围．
2016-2017学年福建省师大附中高三（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）
1．若集合M={x|﹣2＜x＜3}，N={y|y=x2+1，x∈R}，则集合M∩N=（ ）
A．（﹣2，+∞） B．（﹣2，3） C．[1，3） D．R
【考点】交集及其运算．
【专题】计算题．
【分析】先将N化简，再求出M∩N．
【解答】解：N={y|y=x2+1，x∈R}={y|y≥1}=[1，+∞），
∵M={x|﹣2＜x＜3}=（﹣2，3），
∴M∩N=[1，3）
故选C．
【点评】本题考查了集合的含义、表示方法，集合的交集的简单运算，属于基础题．本题中N表示的是函数的值域．
2．若复数 （α∈R）是纯虚数，则复数2a+2i在复平面内对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【考点】复数的代数表示法及其几何意义．
【专题】转化思想；定义法；数系的扩充和复数．
【分析】化简复数 ，根据纯虚数的定义求出a的值，写出复数2a+2i对应复平面内点的坐标，即可得出结论．
【解答】解：复数 = =（a+1）+（﹣a+1）i，
该复数是纯虚数，∴a+1=0，解得a=﹣1；
所以复数2a+2i=﹣2+2i，
它在复平面内对应的点是（﹣2，2），
它在第二象限．
故选：B．
【点评】本题考查了复数的化简与代数运算问题，也考查了纯虚数的定义与复平面的应用问题，是基础题．
3．已知向量 =（2，1）， =10，| + |= ，则| |=（ ）
A． B． C．5 D．25
【考点】平面向量数量积的运算；向量的模．
【专题】平面向量及应用．
【分析】根据所给的向量的数量积和模长，对|a+b|= 两边平方，变化为有模长和数量积的形式，代入所给的条件，等式变为关于要求向量的模长的方程，解方程即可．
【解答】解：∵| + |= ，| |=
∴（ + ）2= 2+ 2+2 =50，
得| |=5
故选C．
【点评】本题考查平面向量数量积运算和性质，根据所给的向量表示出要求模的向量，用求模长的公式写出关于变量的方程，解方程即可，解题过程中注意对于变量的应用．
4．已知cos（ ）= ，则sin（2 ）的值为（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
【考点】两角和与差的正弦函数．
【专题】转化思想；综合法；三角函数的求值．
【分析】用已知角表示未知角，再结合二倍角公式即可求得sin（2 ）的值．
【解答】解：∵cos（ ）= ，
则sin（2 ）=﹣sin（2α+ ）=﹣sin[2（α+ ）+ ]=﹣cos2（α+ ）
=﹣[2cos2（α+ ）﹣1]=﹣[ ﹣1]= ，
故选：B．
【点评】本题主要考查诱导公式、二倍角的余弦公式的应用，属于基础题．
5．《莱因德纸草书》（Rhind Papyrus）是世界上最古老的数学著作之一．书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每个人所得成等差数列，且使较大的三份之和的 是较小的两份之和，问最小一份为（ ）
A． B． C． D．
【考点】等差数列的通项公式．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d（d＞0），根据条件列出方程求出a和d的值，从而得最小一份的值．
【解答】解：设五个人所分得的面包为a﹣2d，a﹣d，a，a+d，a+2d，（其中d＞0）；
∵把100个面包分给5个人，
∴（a﹣2d）+（a﹣d）+a+（a+d）+（a+2d）=5a=100，得a=20，
∵使较大的三份之和的 是较小的两份之和，
∴ （a+a+d+a+2d）=a﹣2d+a﹣d，得3a+3d=7（2a﹣3d），
化简得24d=11a，∴d= = ，
所以最小的1分为a﹣2d=20﹣2× = ，
故选：A．
【点评】本题考查了等差数列模型的实际应用，解题时应巧设数列的中间项，从而容易得出结果，属于基础题．
6．等比数列{ }中， ＞0，则“ ＜ ”是“ ＜ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列的性质．
【专题】等差数列与等比数列．
【分析】先用等比数列的通项公式，表示出 ＜ ，进而可判断 ＜ 不一定成立；同时根据 ＜a3成立可知 q2＜ q5，进而推断出 ＜ ，判断出必要条件．最后综合可得答案．
【解答】解：如果 ＜ ，∴ ＜ q2∴q2＞ 1，
若q＜﹣1，则 = q2＞0， = q5＜0 ∴ ＞ ，
∴“ ＜ ”不是“ ＜a6”的充分条件；
如果 ＜a6成立，则 q2＜ q5，又a1＞0，
∴1＜q3 ∴q＞1，
∴ ＜a2＜ ，
故可判断，“ ＜ ”是“ ＜ ”的必要条件．
综合可知，“ ＜ ”是“ ＜ ”必要而不充分条件．
故选B．
【点评】本题主要考查了等比数列的性质和必要条件，充分条件与充要条件的判断．
7．已知函数f（x）=﹣x3+ax2+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与x轴相切于原点，且x轴与函数图象所围成区域（图中阴影部分）的面积为 ，则a的值为（ ）
A．0 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【考点】定积分．
【专题】数形结合；转化思想；数形结合法；导数的概念及应用．
【分析】由x=0是f（x）=0的一个极值点，可得f′（0）=0，求得b的值，确定出f（x）的解析式，由于阴影部分面积为 ，利用定积分求面积的方法列出关于a的方程求出a并判断a的取舍即可
【解答】解：由f（x）=﹣x3+ax2+bx，得f′（x）=﹣3x2+2ax+b．
∵x=0是原函数的一个极值点，
∴f′（0）=b=0．
∴f（x）=﹣x2（x﹣a），有∫a0（x3﹣ax2）dx=（ ）|a0=0﹣ + = = ，
∴a=±1．
函数f（x）与x轴的交点横坐标一个为0，另一个a，根据图形可知a＜0，得a=﹣1．
故选：C
【点评】本题主要考查了定积分在求面积中的应用，以及定积分的运算法则，同时考查了计算能力和识图能力，属于中档题．
8．（2016•红桥区二模）已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，且f（x+1）= ，若f（x）在[﹣1，0]上是减函数，记a=f（log0.52），b=f（log24），c=f（20.5），则（ ）
A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．b＞a＞c
【考点】奇偶性与单调性的综合．
【专题】计算题；函数思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】确定函数是周期为2的周期函数，f（x）在[0，1]上单调递增，并且a=f（log0.52）=f（log22）=f（1），b=f（log24）=f（2）=f（0），c=f（20.5），即可比较出a，b，c的大小．
【解答】解：∵f（x+1）= ，∴f（x+2）=f（x），
∴函数是周期为2的周期函数；
∵f（x）为偶函数，f（x）在[﹣1，0]上是减函数，
∴f（x）在[0，1]上单调递增，并且a=f（log0.52）=f（log22）=f（1），b=f（log24）=f（2）=f（0），c=f（20.5）．
∵0＜1＜20.5，
∴b＜c＜a．
故选：B．
【点评】考查偶函数的定义，函数的单调性，对于偶函数比较函数值大小的方法就是将自变量的值变到区间[0，1]上，根据单调性去比较函数值大小．
9．将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移 个单位后得到函数g（x）的图象，若函数g（x）在区间[0， ]和[2a， ]上均单调递增，则实数a的取值范围是（ ）
A．[ ， ] B．[ ， ] C．[ ， ] D．[ ， ]
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【专题】综合题；函数思想；综合法；三角函数的图像与性质．
【分析】由函数的图象平移求得函数g（x）的解析式，进一步求出函数（x）的单调增区间，结合函数g（x）在区间[0， ]和[2a， ]上均单调递增列关于a的不等式组求解．
【解答】解：将函数f（x）=2cos2x的图象向右平移 个单位后得到函数g（x）的图象，
得g（x）=2cos2（x﹣ ）=2cos（2x﹣ ），
由 ，得 ．
当k=0时，函数的增区间为[ ]，当k=1时，函数的增区间为[ ]．
要使函数g（x）在区间[0， ]和[2a， ]上均单调递增，
则 ，解得a∈[ ， ]．
故选：A．
【点评】本题考查三角函数的图象变换，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的性质，是中档题．
10．已知数列{an}满足：2an=an﹣1+an+1（n≥2），a1=1，且a2+a4=10，若Sn为数列{an}的前n项和，则 的最小值为（ ）
A．4 B．3 C． D．
【考点】数列递推式．
【专题】综合题；转化思想；转化法；等差数列与等比数列．
【分析】由数列递推式：2an=an﹣1+an+1（n≥2）得到{an}为等差数列，由等差数列的求和公式求出其前n项和，代入整理，根据数列的函数特征，求出最小值．
【解答】解：数列{an}满足：2an=an﹣1+an+1（n≥2），
∴{an}为等差数列，
∵a1=1，且a2+a4=10，设公差为d，
∴1+d+1+3d=10，
解得d=2，
∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1，
∴sn= =n2，
∴ = = = =n+1+ ﹣2
设f（x）=x+1+ ，
则f′（x）=1﹣ = ，
当0＜x＜ ﹣1，f′（x）＜0，函数单调递减，
当x＞ ﹣1，f′（x）＞0，函数单调递增，
∴当x= ﹣1时，函数f（x）取的最小值，
即当n=2时，n+1+ ﹣2的最小值，即为3+ ﹣2=
故 的最小值为 ，
故选：D
【点评】本题考查了数列递推式，关键是由递推式构造出等比数列，考查了对勾函数的图象和性质，是有一定难度题目．
11．（2014•泰安二模）已知函数f（x）= （其中e为自对数的底数），则y=f（x）的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【考点】函数的图象．
【专题】函数的性质及应用．
【分析】构造函数，令分母为g（x），研究函数g（x）的单调性和值域情况，从而得出函数f（x）图象分布情况，判断选项．
【解答】解：令g（x）=ex﹣2x﹣1，g′（x）=ex﹣2，∴g（x）在（﹣∞，ln2）上单调递减，在（ln2，+∞）h 上单调递增，
又∵g（ln2）=1﹣2ln2＜0，∴g（x）有两个实数解，
∵g（0）=0，g（1）=e﹣3＜0，g（2）=e2﹣5＞0，∴x1=0，x2∈（1，2），
且当x＜0时，g（x）＞0，∴f（x）＞0，
当x1＜x＜x2时，g（x）＜0，∴f（x）＜0，
当x＞x2时，g（x）＞0，∴f（x）＞0，∴只有选项C符合．
故选：C．
【点评】本题考查函数图象的分布情况，即：定义域、单调性，正负性，属于中档题．
12．（2015•怀化二模）定义在R上的函数f（x）满足：f'（x）＞1﹣f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的导函数，则不等式exf（x）＞ex+5（其中e为自然对数的底数）的解集为（ ）
A．（0，+∞） B．（﹣∞，0）∪（3，+∞） C．（﹣∞，0）∪（1，+∞） D．（3，+∞）
【考点】导数的运算；其他不等式的解法．
【专题】导数的概念及应用．
【分析】构造函数g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解
【解答】解：设g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），
则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]，
∵f'（x）＞1﹣f（x），
∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，
∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定义域上单调递增，
∵exf（x）＞ex+5，
∴g（x）＞5，
又∵g（0）=e0f（0）﹣e0=6﹣1=5，
∴g（x）＞g（0），
∴x＞0，
∴不等式的解集为（0，+∞）
故选：A．
【点评】本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．（2015•房山区二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c. ，则tanB= ．
【考点】正弦定理；同角三角函数间的基本关系．
【专题】计算题；解三角形．
【分析】根据正弦定理，算出sinB= = ，由b＜a得B是锐角，利用同角三角函数的平方关系算出cosB= ，再用商数关系算出tanB= ，即可得到本题答案．
【解答】解：∵
∴由正弦定理 ，得sinB= =
∵b＜a可得B是锐角，
∴cosB= = ，
因此，tanB= = =
故答案为：
【点评】本题给出三角形ABC的两边和其中一边的对角，求另一个角的正切之值，着重考查了利用正弦定理解三角形和同角三角函数基本关系等知识，属于基础题．
14．已知x，y满足 ，且z=2x﹣y的最大值与最小值的比值为﹣2，则a的值是 ．
【考点】简单线性规划．
【专题】数形结合；转化法；不等式．
【分析】由题意可得先作出不等式表示的 平面区域，由z=2x﹣y可得y=2x﹣z，则z表示直线y=2x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z越小，可求Z的最大值与最小值，即可求解a．
【解答】解：由题意可得，B（1，1）
∴a＜1，不等式组表示的平面区域如图所示的△ABC，
，
由z=2x﹣y可得y=2x﹣z，则z表示直线y=2x﹣z在y轴上的截距，截距越大，z越小，
作直线L：y=2x，把直线向可行域平移，
当直线经过A时z最小，
由 ，可得A（a，2﹣a），此时Z=3a﹣2，
当直线经过点B时，z最大，B（1，1），
此时z=1，
故 =﹣2，解得：a= ，
故答案为： ．
【点评】线性规划是高考重要内容，也是常考内容．此题考查该知识点增加一点变化，比较好．
15．一艘海轮从A处出发，以每小时40海里的速度沿东偏南50°方向直线航行，30分钟后到达B处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是东偏南20°，在B处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B、C两点间的距离是 海里．
【考点】解三角形的实际应用．
【专题】计算题．
【分析】先根据题意画出图象确定∠BAC、∠ABC的值，进而可得到∠ACB的值，最后根据正弦定理可得到BC的值．
【解答】解：如图，由已知可得，∠BAC=30°，∠ABC=105°，AB=20，
从而∠ACB=45°．
在△ABC中，由正弦定理可得 ．
故答案为：10 ．
【点评】本题主要考查正弦定理的应用，考查对基础知识的掌握程度，属于中档题．
16．（2016•温岭市模拟）{an}满足an+1=an+an﹣1（n∈N*，n≥2），Sn是{an}前n项和，a5=1，则S6= 4 ．
【考点】数列递推式．
【专题】计算题；函数思想；待定系数法；点列、递归数列与数学归纳法．
【分析】设a4=k，结合数列递推式及a5=1求得其它项，作和求得S6 ．
【解答】解：设a4=k，由an+1=an+an﹣1，得a3=a5﹣a4=1﹣k，
a2=a4﹣a3=k﹣（1﹣k）=2k﹣1，a1=a3﹣a2=（1﹣k）﹣（2k﹣1）=2﹣3k，
a6=a5+a4=1+k，
∴S6=a1+a2+a3+a4+a5+a6=（2﹣3k）+（2k﹣1）+（1﹣k）+k+1+（1+k）=4．
故答案为：4．
【点评】本题考查数列递推式，考查了数列的函数特性，设出a4是关键，是中档题．
三、解答题（共5小题，满分60分）
17．（12分）（2016•安庆校级模拟）如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠CAD= ，AC= ，cos∠ADB=﹣
（1）求sin∠C的值；
（2）若△ABD的面积为7，求AB的长．
【考点】正弦定理；余弦定理．
【专题】数形结合；数形结合法；解三角形．
【分析】（1）由同角三角函数基本关系式可求sin∠ADB，由∠C=∠ADB﹣ ．利用两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求值得解．
（2）先由正弦定理求AD的值，再利用三角形面积公式求得BD，与余弦定理即可得解AB的长度．
【解答】解：（1）在△ABC中，∵cos∠ADB=﹣ ，则sin∠ADB= ，
∠CAD= ，则∠C=∠ADB﹣ ，
sin∠C=sin（∠ADB﹣ ）=sin∠ADB•cos ﹣sin cos∠ADB= + = ，
（2）在三角形△ACD中， ，
AD= = =2 ，
∴S= AD•BD•sin∠ADB= •2 BD =7，
∴BD=5，
由余弦定理可知：AD2=BD2+AD2﹣2BD•AD•cos∠ADB，
∴AD= ．
【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值，正弦定理，三角形面积公式等知识的综合应用，考查了数形结合能力和转化思想，考查了计算能力，属于中档题．
18．（12分）已知数列{an}的前n项和为Sn，a1= +1（n≥2）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）设bn= ，数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn＜ ．
【考点】数列递推式；数列的求和．
【专题】综合题；函数思想；转化法；等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）由数列递推式可得 ，然后利用累积法求得数列通项公式；
（Ⅱ）把数列{an}的通项公式代入bn= ，然后利用裂项相消法求和，放缩得答案．
【解答】（Ⅰ）解：当n=2时，2S2=3a2+1，解得a2=2，
当n=3时，2S3=4a3+1，解得a3=3．
当n≥3时，2Sn=（n+1）an+1，2Sn﹣1=nan﹣1+1，
以上两式相减，得2an=（n+1）an﹣nan﹣1，
∴ ，
∴ = ，
∴ ；
（Ⅱ）证明：bn= = ，
当n=1时， ，
当n≥2时， ，
∴ ．
∴Tn＜ ．
【点评】本题考查数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了裂项相消法求数列的前n项和，是中档题．
19．（12分）在△ABC中，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c， ，∠BAC=θ，a=4．
（1）求bc的最大值；
（2）求函数 的值域．
【考点】余弦定理；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数；正弦函数的定义域和值域．
【专题】三角函数的图像与性质；解三角形．
【分析】（1）由题意可得bc•cosθ=8，代入余弦定理可得b2+c2=32，由基本不等式可得b2+c2≥2bc，进而可得bc的最大值；
（2）结合（1）可得cosθ≥ ，进而可得θ的范围，由三角函数的知识可得所求．
【解答】解：（1）∵ =bc•cosθ=8，
由余弦定理可得16=b2+c2﹣2bc•cosθ=b2+c2﹣16，
∴b2+c2=32，又b2+c2≥2bc，
∴bc≤16，即bc的最大值为16，
当且仅当b=c=4，θ= 时取得最大值；
（2）结合（1）得， =bc≤16，∴cosθ≥ ，
又0＜θ＜π，∴0＜θ≤ ，
∴ =2sin（2θ+ ）﹣1
∵0＜θ≤ ，∴ ＜2θ+ ≤ ，∴ sin（2θ+ ）≤1，
当2θ+ = ，即θ= 时，f（θ）min=2× ，
当2θ+ = ，即θ= 时，f（θ）max=2×1﹣1=1，
∴函数f（θ）的值域为[0，1]
【点评】本题考查余弦定理以及三角函数的值域，涉及平面向量数量积的定义，属中档题．
20．（12分）已知数列{an}是公差为正数的等差数列，其前n项和为Sn，且a2•a3=15，S4=16．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）数列{bn}满足b1=a1， ．
①求数列{bn}的通项公式；
②是否存在正整数m，n（m≠n），使得b2，bm，bn成等差数列？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
【考点】数列递推式．
【专题】综合题；函数思想；转化法；等差数列与等比数列．
【分析】（Ⅰ）直接由已知列关于首项和公差的方程组，求解方程组得首项和公差，代入等差数列的通项公式得答案；
（Ⅱ）①把数列{an}的通项公式代入 ，然后裂项，累加后即可求得数列{bn}的通项公式；
②假设存在正整数m、n（m≠n），使得b2，bm，bn成等差数列，则b2+bn=2bm．由此列关于m的方程，求解得答案．
【解答】解：（I）设数列{an}的公差为d，则d＞0．
由a2•a3=15，S4=16，得 ，
解得 或 （舍去）．
an=2n﹣1；
（Ⅱ）①∵b1=a1， ，
∴b1=a1=1，
= = （ ﹣ ），
即b2﹣b1= （1﹣ ），b3﹣b2= （ ﹣ ），…，bn﹣b﹣1= （ ﹣ ），（n≥2）
累加得：bn﹣b1= （1﹣ ）= ，
∴bn=b1+ =1+ = ．
b1=1也符合上式．
故bn= ，n∈N*．
②假设存在正整数m、n（m≠n），使得b2，bm，bn成等差数列，
则b2+bn=2bm．
又b2= ，bn= = ﹣ ，bm= ﹣ ，
∴ +（ ﹣ ）=2（ ﹣ ），即 = + ，
化简得：2m= =7﹣ ．
当n+1=3，即n=2时，m=2，（舍去）；
当n+1=9，即n=8时，m=3，符合题意．
∴存在正整数m=3，n=8，使得b2，bm，bn成等差数列．
【点评】本题考查数列递推式，考查了等差数列通项公式的求法，训练了裂项相消法及累加法求数列的通项公式，考查存在性问题的求法，是中档题．
21．（12分）（2016•南昌校级二模）已知a为常数，a∈R，函数f（x）=x2+ax﹣lnx，g（x）=ex．（其中e是自然对数的底数）
（Ⅰ）过坐标原点O作曲线y=f（x）的切线，设切点为P（x0，y0），求证：x0=1；
（Ⅱ）令 ，若函数F（x）在区间（0，1]上是单调函数，求a的取值范围．
【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；函数的单调性与导数的关系．
【专题】综合题；压轴题．
【分析】（I）先对函数求导， ，可得切线的斜率 =
，即 ，由x0=1是方程的解，且y=x2+lnx﹣1在（0，+∞）上是增函数，可证
（Ⅱ）由 ， ，先研究函数 ，则 ．
由h'（x）在（0，1]上是减函数，可得h'（x）≥h'（1）=2﹣a，通过研究2﹣a的正负可判断h（x）的单调性，进而可得函数F（x）的单调性，可求
【解答】解：（I） （x＞0）． …（2分）
过切点P（x0，y0）的切线的斜率 =
整理得 ．…（4分）
显然，x0=1是这个方程的解，又因为y=x2+lnx﹣1在（0，+∞）上是增函数，
所以方程x2+lnx﹣1=0有唯一实数解．故x0=1．…（6分）
（Ⅱ） ， ．…（8分）
设 ，则 ．
易知h'（x）在（0，1]上是减函数，从而h'（x）≥h'（1）=2﹣a． …（10分）
（1）当2﹣a≥0，即a≤2时，h'（x）≥0，h（x）在区间（0，1）上是增函数．
∵h（1）=0，∴h（x）≤0在（0，1]上恒成立，即F'（x）≤0在（0，1]上恒成立．
∴F（x）在区间（0，1]上是减函数．
所以，a≤2满足题意． …（12分）
（2）当2﹣a＜0，即a＞2时，设函数h'（x）的唯一零点为x0，
则h（x）在（0，x0）上递增，在（x0，1）上递减．又∵h（1）=0，∴h（x0）＞0．
又∵h（e﹣a）=﹣e﹣2a+（2﹣a）e﹣a+a﹣ea+lne﹣a＜0，
∴h（x）在（0，1）内有唯一一个零点x'，
当x∈（0，x'）时，h（x）＜0，当x∈（x'，1）时，h（x）＞0．
从而F（x）在（0，x'）递减，在（x'，1）递增，与在区间（0，1]上是单调函数矛盾．
∴a＞2不合题意．
综合（1）（2）得，a≤2． …（15分）
【点评】考查学生利用导数研究函数的单调能力，函数单调性的判定，以及导数的运算，试题具有一定的综合性．
选修4-4：坐标系与参数方程
22．（10分）在极坐标系中，圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣3．若以极点O为原点，极轴所在直线为x轴建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）求圆C的参数方程；
（Ⅱ）在直角坐标系中，点P（x，y）是圆C上动点，试求x+2y的最大值，并求出此时点P的直角坐标．
【考点】简单曲线的极坐标方程；函数的最值及其几何意义．
【专题】方程思想；转化思想；三角函数的求值；坐标系和参数方程．
【分析】（Ⅰ）由圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣3．利用互化公式可得直角坐标方程，再利用同角三角函数的平方关系可得圆C的参数方程．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，设点P（2+ cosθ，2+ sinθ），可得x+2y=6+5 ，设sinα= ，则 ，可得x+2y=6+5sin（θ+α），再利用三角函数的单调性与值域即可得出最大值．
【解答】解：（Ⅰ）∵圆C的极坐标方程为：ρ2=4ρ（cosθ+sinθ）﹣3．
∴直角坐标方程为：x2+y2﹣4x﹣4y+3=0，
即（x﹣2）2+（y﹣2）2=5为圆C的普通方程．
利用同角三角函数的平方关系可得：圆C的参数方程为 （θ为参数）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，设点P（2+ cosθ，2+ sinθ），
∴x+2y=2+ cosθ+2（2+ ）=6+5
设sinα= ，则 ，
∴x+2y=6+5sin（θ+α），
当sin（θ+α）=1时，（x+2y）max=11，此时，θ+α= ，k∈Z．
∴sinθ=cosα= ，cosθ=sinα= ．
点P的直角坐标为（3，4）时，x+2y取得最大值11．
【点评】本题考查了极坐标与直角坐标的互化公式、同角三角函数的基本关系式、圆的参数方程及其应用、三角函数的单调性与值域、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
选修4-5：不等式选讲
23．已知m，n都是实数，m≠0，f（x）=|x﹣1|+|x﹣2|．
（Ⅰ）若f（x）＞2，求实数x的取值范围；
（Ⅱ）若|m+n|+|m﹣n|≥|m|f（x）对满足条件的所有m，n都成立，求实数x的取值范围．
【考点】函数恒成立问题；绝对值不等式的解法．
【专题】函数思想；转化法；函数的性质及应用．
【分析】（1）利用绝对值的意义，|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标，从而得出结论．
（2）转化不等式为2|x﹣1|+|x﹣2|≤ ，利用函数恒成立以及绝对值的几何意义，求出x的范围即可．
【解答】解：（1）由f（x）＞2，即|x﹣1|+|x﹣2|＞2．
而|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，
而数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标为 和 ，
故不等式|x﹣1|+|x﹣2|＞2的解集为﹛x|x＜ 或x＞ ﹜，
（2）由题知，|x﹣1|+|x﹣2|≤ 恒成立，
故|x﹣1|+|x﹣2|小于或等于 的最小值．
∵|m+n|+|m﹣n|≥|m+n+m﹣m|=2|m|，当且仅当 （m+m）（m﹣m）≥0 时取等号，
∴ 的最小值等于2，∴x的范围即为不等式|x﹣1|+|x﹣2|≤2的解．
由于|x﹣1|+|x﹣2|表示数轴上的x对应点到1和2对应点的距离之和，
又由于数轴上的 、 对应点到1和2对应点的距离之和等于2，
故不等式的解集为[ ， ]．
【点评】本题考查函数恒成立以及绝对值的意义，绝对值不等式的解法，判断数轴上满足|x﹣1|+|x﹣2|=2的点的坐标为 和 ，是解题的关键．考查转化思想的应用．
编辑者：太原家教（太原家教网)
